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148 The numerical solution of the equation furnished by the vanishing of the coefficient corresponding to the third zonal harmonic shows that the critical Jacobian ellipsoid is such that its axes are proportional to 0-65066, 0-81498, 1-88583; and that the angular velocity w and

density p of the liquid are connected by the equation - = 0-14200.

This ellipsoid is the longest stable figure of Jacobi's series. A figure of the deformation of this critical ellipsoid by the third zonal harmonic is delineated in a plate. The so-called pear-shaped figure is seen to be longer than was indicated by M. Poincare in his conjectural sketch. Although this figure is almost certainly stable, absolute proof is still wanting. This proof can only be obtained by proceeding to a higher degree of approximation. An attempt is made to obtain this higher approximation, and the cause of failure and the difficulties of the problem are discussed.

J'ai public autrefois dans le Tome 7 des ' Acta Mathematics ' un memoire oil j etudie di verses figures d'equilibre nouvelles d'une masse fluide homogene en rotation, Presque toutes ces figures sont instables ; une d'elles cependant, qui est pyriforme, est tres probablement stable. Mais la preuve directe de cette Stabilite ne pourrait etre obtenue que par de longs calculs. Le but du present travail est de faciliter ces calculs, en donnant a la condition de Stabilite une forme analytique aussi simple que possible. La question cependant reste indecise, parce que les formules analytiques n'ont pas e'te reduites en chiffres.

II fallait d'abord obtenir une expression de 1'energie de gravitation d'une pareille figure en poussant 1'approximation plus loin qu'on ne 1'avait fait jusqu'ici. L'emploi des fonctions de Lame peut conduire au resultat, mais on se trouve en presence d'une petite difficulte. Le potentiel d'un ellipsoide, ou d'une couche ellipsoidale, afFecte des formes analytiques differentes selon que le point envisage est a 1'in- terieur ou a 1'exterieur de Fellipsoide. II en results que dans chacune des integrates il faudrait donner a la fonction sous le signe J, tantot une forme pour les parties de la surface pyriforme qui sont au dessous de la surface de l'ellipsoide, tantdt une autre forme pour les parties qui sont au dessus. Mais j'ai reconnu que cette difficulte est purement artificielle et qu'on obtiendra encore un resultat final correct en