Page:Philosophical Transactions - Volume 003.djvu/111

 ''At agnoscit hoc verum esse in illis seriebus, quæope nostre methodi turminantur: velim certe ut assignet mihi Nobiliss. vis seriem aliquam convergentem cum sua terminatione, quæ consectarium nostrum respuat; vel si eam assignare non possit, solidam dubitandi rationem tantum desidero. Ut autem funditus averatur hæc objectio, sequentem exhibeo demonstrationem Geometricam.''

Sit A. polygonum regulare sectori inscriptum, B. eidem simile circumscriptum; ''continuctur series convergens polygonorum &c. ut sit, ejus terminatio, seu circuli sector z" sit x eodem modo composita à terminis C, D, quo z, à terminis A, B; dico z & x esse indefinite æquales; si non sint indefinite æquales, sit inter illas indefinita differentia $$\alpha$$, & continuetur series convergens in terminos convergentes I, K, ita ut eorum differentia sit minor quam $$\alpha$$; hoc enim absque dubio concipi potest, etiamsi hic omnes quantitates sint indefinite, quoniam definitis quantitatibus A, B, definitur etiam $$\alpha$$, sed adhur restat K-I quantitas indeterminata in infinitum decrescens. Manifestum est, fectorem z esse indefinite minorem quam K, & majorem quam I: item quoniam Z. eodem modo componitur ex quantitibus A, B quo X. e quantitatibus C, D, & Z indefinite minor est quam K & major quam I, patet ex proprietatibus serierum convergentium, X etiam esse indefinite majorem quam I, & minorem quam K (est exim revera indefinite major quam L & minor quam M) & proinde sunt quatuor quantitates indefinite, quarum maxima & minima sunt I, K, intermediæ autem Z & X, & ideo differentia extremarum K-I major est quam $$\alpha$$ differentia mediarum, quod est absurdum, ponitur ænim minor; quantitates ergo Z & X non sunt indefinite inæquales, & ideo sunt indefinite æquales, quid demonstrandum erat. Manifestum est hunc demonstrationem eodem modo applicabilum esse omni seriei convergenti.''

In objectionibus 2, 3 & 4, contra suas ipsius imaginationes argumentatur Hugenius: Ego enim satis dilucide affirmo in scholio prop. 5, et in fine prop 9. septimam & nonam propositionem esse particularem, unamquæmq, suo casui; item in prop. decima (quam ergo progenerali substituo) evidenter suppono, & non quero, illam quantitatem eodem modo compositam ex primis, quo ex secundis terminis convergentibus; ''satis enim scio, talem methodum generalem esse impossibilem. Sed omnium maxime admiror, Clarissimum virum non animadvertisse in 8 definitione, Quantitates C, D, E, compositionem ingredientes, semper esse easdem, nempe definitas & invariabiles, ipso autem terminos A, B, esse indefinitos & variabiles, nimirum in F, G, & infinitos alios: at quis est qui non videt. Hugenii $$\frac{b^2 m}{a^2 + ba}$$non minus esse indefinitam, quam sunt ipsi termini? Deinde in Proœmio nostræ Geometriæ partis universalis, sic dico.'' Alii objiciunt contra prop. 2, ita; si addatur $$a^3$$ termino $$a^3 + a^2 b$$ & termino $$ba^2 + b^2 a$$, enervetur vis utriusq; demononstrationis. Respondeo, $$a^3$$ esse quantitatem indefinitam & alias quantitates indefinitas præter ipsos terminos convergences Rh